第21章 转动
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来讲多重积分的技巧。”希尔老头还是老样子般出现在了杜明面前。
杜明举手发言：“我会了。”
“啊哈，看来你自学的很快呀，那我们来讲含参变量的积分吧。”希尔老头笑了笑，表示对后进者的努力非常欣慰。
杜明继续举手发言：“我也会了。”
希尔皱眉，试探性地问道：“那级数……和微分方程的分离变量法……”
“也会了。”杜明装作兴致缺缺，活生生地演绎了那种数学课上啥都会但是特别不谦虚的学生。
好不容易有机会能凭实力爽一把，当然要势大力沉，一爽到底。
“行吧，那我们来讲物理，你稍等一下，我重新载入一下课程文件。”希尔也不介意孩子在家自学，相反，这邢明的初学者评级就离谱，希尔巴不得他赶快一口气全学完，天天讲简单的东西也很累的。
“我们今天先来讲一种新的坐标系，自然坐标系。这是一种不依赖于外界参考的坐标系，它的建立只与物体本身的运动性质有关，在低速情况下，物体的运动轨迹可以视为一条以时间为参变量的曲线。”
说着希尔便拿出一个小木块，随便在空中运动了几下，小木块身后出现一条红色的线。
“在这曲线的任意一点，都可以作出曲线的切线。然后作出指向曲线凹侧的垂线，这两个方向就是自然坐标系的两个基准方向，只与物体在特定时刻的运动状态有关。”
杜明感觉很新奇，又举手发问道：“这只有两个方向呀，假如物体在三维空间中运动呢？”
三维空间中运动，运动的自由度为3，势必要3个独立的方向才能完全描述。
“咳，你问的这个问题确实很有意思，那就多给你讲一点，我们来看切线是怎么来的。”
希尔又拿着小木块在空中运动了一下，这次的轨迹更加弯曲，并且不仅仅是在某个平面弯曲，而是变成了一条三维的曲线。
“三维的曲线也有切线，我们使用一种传统的切线定义，比如说曲线上A点的切线。”
希尔在曲线上点出两个点，一个点标上A，一个点标上B。
“A点固定不动，B点在曲线上移动，连接AB两点定义出一条直线，我们可以看到对于一条光滑的曲线而言，当B无限接近于A的时候，这条线就是曲线的切线了。”
希尔把B点拉到与A点重合。
“切线的方向有了，我们再注意到，刚才这条直线在运动过程中是不是画出了一个曲面？”希尔再次点击那条切线，将那切线移动地影像重叠起来，在空中行程一个淡黄色的半透明曲面。
“这个曲面也经过A点，并且在A点存在一个切面和一个法向量（垂直于切面的向量），而曲线的切线正好在这个切面上，所以这个法向和这个切向正好垂直，并且这个通过A点也可以作出垂直于切向量的法平面，与刚才切平面正好相交出一条新的方向。”
空中平面和向量相继出现，杜明看得很清楚，理解的很透彻：“所以这三个方向正好就是三个相互垂直方向，这样我们在三维空间中也可以定义出自然坐标系。”
希尔点点头，表示对邢明触类旁通的能力很满意。
杜明眨眨眼：“那四维呢？”
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来讲多重积分的技巧。”希尔老头还是老样子般出现在了杜明面前。
杜明举手发言：“我会了。”
“啊哈，看来你自学的很快呀，那我们来讲含参变量的积分吧。”希尔老头笑了笑，表示对后进者的努力非常欣慰。
杜明继续举手发言：“我也会了。”
希尔皱眉，试探性地问道：“那级数……和微分方程的分离变量法……”
“也会了。”杜明装作兴致缺缺，活生生地演绎了那种数学课上啥都会但是特别不谦虚的学生。
好不容易有机会能凭实力爽一把，当然要势大力沉，一爽到底。
“行吧，那我们来讲物理，你稍等一下，我重新载入一下课程文件。”希尔也不介意孩子在家自学，相反，这邢明的初学者评级就离谱，希尔巴不得他赶快一口气全学完，天天讲简单的东西也很累的。
“我们今天先来讲一种新的坐标系，自然坐标系。这是一种不依赖于外界参考的坐标系，它的建立只与物体本身的运动性质有关，在低速情况下，物体的运动轨迹可以视为一条以时间为参变量的曲线。”
说着希尔便拿出一个小木块，随便在空中运动了几下，小木块身后出现一条红色的线。
“在这曲线的任意一点，都可以作出曲线的切线。然后作出指向曲线凹侧的垂线，这两个方向就是自然坐标系的两个基准方向，只与物体在特定时刻的运动状态有关。”
杜明感觉很新奇，又举手发问道：“这只有两个方向呀，假如物体在三维空间中运动呢？”
三维空间中运动，运动的自由度为3，势必要3个独立的方向才能完全描述。
“咳，你问的这个问题确实很有意思，那就多给你讲一点，我们来看切线是怎么来的。”
希尔又拿着小木块在空中运动了一下，这次的轨迹更加弯曲，并且不仅仅是在某个平面弯曲，而是变成了一条三维的曲线。
“三维的曲线也有切线，我们使用一种传统的切线定义，比如说曲线上A点的切线。”
希尔在曲线上点出两个点，一个点标上A，一个点标上B。
“A点固定不动，B点在曲线上移动，连接AB两点定义出一条直线，我们可以看到对于一条光滑的曲线而言，当B无限接近于A的时候，这条线就是曲线的切线了。”
希尔把B点拉到与A点重合。
“切线的方向有了，我们再注意到，刚才这条直线在运动过程中是不是画出了一个曲面？”希尔再次点击那条切线，将那切线移动地影像重叠起来，在空中行程一个淡黄色的半透明曲面。
“这个曲面也经过A点，并且在A点存在一个切面和一个法向量（垂直于切面的向量），而曲线的切线正好在这个切面上，所以这个法向和这个切向正好垂直，并且这个通过A点也可以作出垂直于切向量的法平面，与刚才切平面正好相交出一条新的方向。”
空中平面和向量相继出现，杜明看得很清楚，理解的很透彻：“所以这三个方向正好就是三个相互垂直方向，这样我们在三维空间中也可以定义出自然坐标系。”
希尔点点头，表示对邢明触类旁通的能力很满意。
杜明眨眨眼：“那四维呢？”
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